Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua 

Variabel

1. Persamaan Linear Dua Variabel ( PLDV )

a.      Definisi persamaan linear dua variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memuat dua variabel dan pangkat tertinggi variabelnya adalah satu serta tidak memuat perkalian kedua variabelnya. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by + c = 0 dengan a, b,  bilangan real, a  0 dan b  0. X dan y merupakan variabel, a dan b merupakan koefisien, dan c merupakan konstanta.

b.      Penyelesaian persamaan linear dua variabel

Penyelesaian persamaan linear dua variabel ax + by + c = 0 berupa pasangan bilangan ( x, y ) yang memenuhi persamaan linear dua variabel tersebut. Jika pasangan bilangan ( x, y ) disubstitusikan ke persamaan , akan diperoleh pernyataan yang bernilai benar.

Contoh :

Persamaan  linear dua variabel 2x + y =  6

Pasangan bilangan ( 0, 6 ) merupakan salah satu penyelesaian karena ( 0, 6 ) memenuhi  2x + y =  6, yaitu 2 ( 0 ) + 6 = 6 (benar).

Pasangan bilangan ( 1, 4 ) merupakan salah satu penyelesaian karena ( 1, 4 ) memenuhi 2x + y = 6 yaitu 2 ( 1 ) + 4 = 6 (benar).

Pasangan bilangan ( 10, -14 ) merupakan salah satu penyelesaian karena ( 10, -14) memenuhi 2x + y = 6 yaitu 2 (10) + (-14) = 6 (benar).

Dari contoh diatas terlihat, persamaan 2x + y = 6 mempunyai penyelesaian lebih dari satu.

      Persamaan linear dua variabel ax + by + c = 0 mempunyai penyelesaian lebih dari satu atau persamaan ax + by + c = 0 mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga.

c.       Himpunan penyelesaian persamaan linear dua variabel

Himpunan penyelesaian suatu persamaan linear dua variabel merupakan himpunan pasangan bilangan ( x, y ) yang memenuhi persamaan linear dua variabel tersebut. Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear dua variabel berupa suatu garis lurus pada sistem koordinat cartesius.

      Langkah-langkah menggambar grafik persamaan ax + by + c = 0 sebagai berikut :

Langkah 1 : menentukan dua titik yang memenuhi persamaan ax + by + c = 0.

Langkah 2 : gambarlah kedua titik yang diperoleh tersebut pada sistem koordinat Cartesius.

Langkah 3 : hubungkan kedua titik tersebut dengan sebuah garis lurus.

d.      Menentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel

Untuk menentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel digunakan metode substitusi yaitu substitusikan sebarang nilai x ke persamaan ax + by + c = 0 untuk menemukan nilai y atau substitusikan sebarang nilai y ke persamaan untuk menemukan nilai x.

Contoh soal :

Diberikan dua persamaan 2x + y = 12 dan x − y = 3 . Tentukan nilai x dan nilai y dengan menggunakan metode substitusi!

Pembahasan
Dari persamaan kedua:
x − y = 3

diatur menjadi
x = 3 + y

Substitusikan ke persamaan kedua:
2x + y = 12
2(3 + y) + y = 12
6 + 2y + y = 12
6 + 3y = 12
3y = 12 − 6
3y = 6
y = 6/3
y = 2

Berikutnya substitusikan nilai y yang sudah diperoleh, ke persamaan pertama atau kedua, misal diambil persamaan pertama:
x − y = 3
x − 2 = 3
x = 3 + 2
x = 5

Himpunan Penyelesaian HP:{(5, 2)}

Soal No. 3
Diberikan dua persamaan 2x + y = 12 dan x − y = 3 . Tentukan nilai x dan nilai y dengan menggunakan metode eliminasi yang dikombinasi dengan metode substitusi!

Pembahasan
Untuk menentukan nilai x, maka y kita eliminasi terlebih dahulu:
2x + y = 12
  x − y = 3
^{______________} +
      3x = 15
        x = 15/3 = 5

Setelah nilai x ketemu, langsung disubstitusikan ke salah satu persamaan:
x − y = 3
x − 2 = 3
x = 3 + 2
x = 5

Himpunan Penyelesaian HP:{(5, 2)}

Soal No. 4
Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah…..
A. Rp 275.000,00
B. Rp 285.000,00
C. Rp 305.000,00
D. Rp 320.000,00
(Dari soal UN Matematika SMP / MTs Tahun 2007)

Pembahasan
Baju = x
Kaos = y

Harga dua baju dan satu kaos Rp 170000
2x + y = 170000

Harga satu baju dan tiga kaos Rp 185000
x + 3y = 185000

Susun kedua persamaan:
2x + y = 170000 |× 3|
x + 3y = 185000 |× 1|

menjadi
6x + 3y = 510000
x + 3y = 185000
^{___________________} −
5x     = 325000
x       = 325000/5 = 65000

Substitusikan nilai x
x + 3y = 185000
65000 + 3y = 185000
3y = 185000 − 65000
3y = 120000
y = 120000/3 = 40000

Jadi harga satu baju adalah 65000
harga satu kaos adalah 400000

Untuk 3 baju dan 2 kaos
Harga = 3(65000) + 2(40000) = 195000 + 80000 = 275000 rupiah

2.  PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL 

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dan setiap variabel berderajat paling tinggi satu. Sedangkan tanda pertidaksamaan adalah >, <, ≤, dan ≥.

Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah irisan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang membentuknya.

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel :

1. Gambarlah grafik garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada satu diagram Cartesius
2. Ambil satu titik uji untuk mengetahui daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan linear dua variabelnya, kemudian arsirlah daerah penyelesaian.
3. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear yaitu irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang membentuknya.

Contoh berikut ini **bukan** merupakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, karena variabel yang digunakan tidak sama.

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + 2y > -4, 2x – y ≤ 3 dengan mengarsir daerah penyelesaian!

Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian :

(i) Menggambar garis pembatas 

x +2 y > -4 adalah garis x + 2y = – 4 yang melalui titik (– 4, 0) dan (0,– 2)

2x – y ≤ 3 adalah garis 2x – y = 3 yang melalui titik (1 ½ , 0) dan (0,– 3)

(ii) Penentuan daerah penyelesaiannya dengan cara mengarsir daerah penyelesaian tersebut 

Contoh 2

Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x ≥ 0 ; x + y ≥ 3 ; 2x + y ≤ 4 dengan mengarsir daerah penyelesaian!

Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian :

(i) Menggambar garis pembatas 

x ≥ 0 adalah garis x =0 yaitu sumbu y

x + y ≥ 3 adalah garis x + y = 3 yang melalui titik (3, 0) dan (0, 3)

2x + y ≤ 4 adalah garis 2x + y = 4 yang melalui titik (2, 0) dan (0, 4)

(ii) Penentuan daerah penyelesaiannya dengan cara mengarsir daerah penyelesaian tersebut 

CONTOH LAIN :

1. Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≤10
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (10, 0) dan (0,10).
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

  

2. Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≥ 8
5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (8, 0) dan (0,8).
Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (6, 0) dan (0,10).
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

3. Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 12
2x + 5y ≥ 40
x ≥ 0, 
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,12).
Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (20, 0) dan (0, 8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12. 
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 40.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

 

-EKA SRI LESTARI-