Materi limit, Contoh Soal dan Soal Latihan

OLEH : ASMIATUN HASANAH
1. Definisi dan Pengertian Limit
# Definisi Limit Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:
Sebuah fungsi f(x) mempunyai jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real maka terdapat bilangan real sedemikian hingga memenuhi:

maka

#Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .
2. Limit Fungsi
artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

a. Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika dan maka:
6. 
7. 
8. , untuk
9. Jika maka: untuk L ≠ 0
10. 

b. Menentukan Nilai dari Suatu

1. Jika f(a) = k maka
2. Jika maka
3. Jika maka
4. Jika atau bentuk tertentu maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

c. Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2. Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar

a. Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai
2. Jika , maka nilai
3. Jika , maka nilai disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

b. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai atau :

1. Jika n = m maka
2. Jika n > m maka
3. Jka n < m maka

4. Limit Fungsi Trigonometri
Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi
2. diubah menjadi

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.  

Coba pahami contoh soal berikut :

1. Soal No. 1
   

   Tentukan nilai dari

   Pembahasan
   Dengan turunan
   
   Soal No. 2
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Masih menggunakan turunan
   
   
   Soal No. 3
   

   Nilai

   (Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)
   Pembahasan
   Ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini
   
   
   Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya
   
   
   
   Soal No. 4
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n
   
   
   
   Soal No. 5
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n
   
   
   
   

 
 LATIHAN SOAL
Nomor 1


  Nomor 2