Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan linear satu variabel

1.    Persamaan linear satu variabel

a.     Definisi persamaan linear satu variabel

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memuat satu variabeldan pangkat tertinggi variabelnya adalah 1.

Contoh :

1). P + 6 = 10 merupakan persamaan linear dengan satu variabel yaitu p.

2). X² – 2x = 4 bukan merupakan persamaan linear satu variabel karena pangkat tertinggi variabelnya adalah 2.

            b.    persamaan linear satu variabel yang ekuivalen

persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang mempunyai penyelesaian sama. Berikut ini sifat-sifat keekuivalenan persamaan linear satu variabel.

1). Jika kedua ruas pada persamaan linear satu variabel  ditambah atau dikurangi dengan bilangan atau suku yang sama, akan diperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengan persamaan semula.

2). Jika kedua ruas pada persamaan linear satu variabel dikalikan atau dibagi dengan bilangan atau suku yang sama, akan diperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengan persamaan semula.

c.      menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel

penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat ditentukan menggunakan sifat keekuivalenan persamaan. Sifat keekuivalenan digunakan sehingga menemukan persamaan baru paling sederhana (misal x = a) yang ekuivalen dengan persamaan semula.

               

2. Pertidaksamaan linear satu variabel

a.     Definisi pertidaksamaan linear satu variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memuat satu variabel dan pangkat tertinggi variabelnya adalah satu.

Contoh :

1). P + 6 >  10 merupakan pertidaksamaan linear karena hanya memuat satu varibel yaitu p.

2). X² – 3x – 5 < 0 bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel karena pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

b.     Pertidaksamaan linear satu variabel yang ekuivalen

Pertidaksamaan yang ekuivalen adalah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang mempunyai penyelesaian sama.

Berikut ini sifat-sifat keekuivalenan pada pertidaksamaan linear satu variabel.

1). Jika kedua ruas pada pertidaksamaan linear satu variabel ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

2). Jika kedua ruas pada pertidaksamaan linear satu variabel dikalikan dengan bilangan positif yang sama, akan diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

3). Jika kedua ruas pada pertidaksamaan linear satu variabel dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, akan diperoleh pertidaksamaan baru. Pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan pertidaksamaan semula jika tanda ketidaksamaan itu dibalik ( < dibalik menjadi >,  > dibalik menjadi <,  < dibalik menjadi > ).

c. menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu         variabel

penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat ditentukan menggunakan sifat keekuivalenan pertidaksamaan. Sifat keekuivalenan pertidaksamaan digunakan sehingga menemukan pertidaksamaan baru paling sederhana yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

Contoh soal :

1.   Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

    contoh :

    Carilah penyelesaian dari :

    3 (3x + 4) = 6 ( x -2)

    jawab :

9x + 12 = 6x – 12

9x – 6x = -12-12

3x = -24

x =− 24/3

= -8

    Jadi , HP = {-8}

2.   Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :

Jawab :

6x – 3 = 2x + 1

6x – 3 + 3 = 2x + 1+3

6x               = 2x + 4

6x – 2x     = 4

4x               = 4

x                = 1

jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1

Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut

1.      –P + 2 = 14

Jawab :

–P + 2        = 14

 -p              = 14 – 2

 -p              = 12

2.      2a + 3 = 6

2a         = 6 – 3

2a        = 3

a          =

1.   Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2                                             ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7                                                         ( kedua ruas dikurangi7 )       

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3  dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1              (kedua ruas ditambah 1 )

3x < x + 4 

3x + (-x) < x + (-x) +4                         (kedua ruas ditambah – x)

2x < 4

X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1

Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .

Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut

                 -1      0      1       2      3       4      5

Penyelesaian

Contoh :

 x +    < 6 +

 x         < 6 +  -  

 x          < 4 +          

 x -        < 4

  -     < 4

        < 4

-x         < 4 . 6

X         > -24

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1  ton . jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1  ton

Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

                                x ≤ 1 .500 kg

                                              15 kg

                                     x ≤     100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak  .              

1.   Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

    contoh :

    Carilah penyelesaian dari :

    3 (3x + 4) = 6 ( x -2)

    jawab :

9x + 12 = 6x – 12

9x – 6x = -12-12

3x = -24

x =− 24/3

= -8

    Jadi , HP = {-8}

2.   Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :

Jawab :

6x – 3 = 2x + 1

6x – 3 + 3 = 2x + 1+3

6x               = 2x + 4

6x – 2x     = 4

4x               = 4

x                = 1

jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1

Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut

1.      –P + 2 = 14

Jawab :

–P + 2        = 14

 -p              = 14 – 2

 -p              = 12

2.      2a + 3 = 6

2a         = 6 – 3

2a        = 3

a          =

1.   Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2                                             ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7                                                         ( kedua ruas dikurangi7 )       

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3  dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1              (kedua ruas ditambah 1 )

3x < x + 4 

3x + (-x) < x + (-x) +4                         (kedua ruas ditambah – x)

2x < 4

X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1

Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .

Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut

                 -1      0      1       2      3       4      5

Penyelesaian

Contoh :

 x +    < 6 +

 x         < 6 +  -  

 x          < 4 +          

 x -        < 4

  -     < 4

        < 4

-x         < 4 . 6

X         > -24

Contoh :

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1  ton . jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1  ton

Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

                                x ≤ 1 .500 kg

                                              15 kg

                                     x ≤     100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak  .

              

-EKA SRI LESTARI-

                                                                                                                        

Materi limit, Contoh Soal dan Soal Latihan

OLEH : ASMIATUN HASANAH
1. Definisi dan Pengertian Limit
# Definisi Limit Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:
Sebuah fungsi f(x) mempunyai jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real maka terdapat bilangan real sedemikian hingga memenuhi:

maka

#Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .
2. Limit Fungsi
artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

a. Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika dan maka:
6. 
7. 
8. , untuk
9. Jika maka: untuk L ≠ 0
10. 

b. Menentukan Nilai dari Suatu

1. Jika f(a) = k maka
2. Jika maka
3. Jika maka
4. Jika atau bentuk tertentu maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

c. Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2. Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar

a. Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai
2. Jika , maka nilai
3. Jika , maka nilai disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

b. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai atau :

1. Jika n = m maka
2. Jika n > m maka
3. Jka n < m maka

4. Limit Fungsi Trigonometri
Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi
2. diubah menjadi

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.  

Coba pahami contoh soal berikut :

1. Soal No. 1
   

   Tentukan nilai dari

   Pembahasan
   Dengan turunan
   
   Soal No. 2
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Masih menggunakan turunan
   
   
   Soal No. 3
   

   Nilai

   (Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)
   Pembahasan
   Ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini
   
   
   Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya
   
   
   
   Soal No. 4
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n
   
   
   
   Soal No. 5
   

   Tentukan nilai dari

   
   Pembahasan
   Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n
   
   
   
   

 
 LATIHAN SOAL
Nomor 1


  Nomor 2